Barwert

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Die Artikel Barwert und Diskontierungsfaktor überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Bitte äußere dich in der Diskussion über diese Überschneidungen, bevor du diesen Baustein entfernst. Kmhkmh 17:20, 29. Nov. 2008 (CET)

Abzinsung (Beispielhafte Übersicht)

Der Barwert (z. T. Gegenwartswert oder aus dem Englischen: present value) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik und entspricht dem Wert, den zukünftig anfallende Zahlungsströme in der Gegenwart besitzen^[1]. Anders ausgedrückt ist es der Wert aller Zahlungen am Anfang der Laufzeit (zum Zeitpunkt 0). Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt. Das Gegenteil vom Barwert ist der Endwert.

Inhaltsverzeichnis

1 Barwert einer einzigen Zahlung – Diskontieren
- 1.1 Erläuterung
- 1.2 Beispiel
2 Barwert einer einzigen Zahlung bei unterjähriger Verzinsung
3 Barwert einer Annuität
- 3.1 Erläuterung
- 3.2 Beispiel
4 Versicherungsmathematischer Barwert
5 Fußnoten
6 Siehe auch
7 Weblinks

Barwert einer einzigen Zahlung – Diskontieren

Erläuterung

Durch den Barwert ist es möglich, bei gleich bleibendem Zinssatz den Wert einer zukünftigen Zahlung zum heutigen Zeitpunkt zu bestimmen. Somit können verschiedene Investitionen mit unterschiedlichen Laufzeiten und Zinssätzen miteinander verglichen werden.

Um einen Barwert zu berechnen, müssen folgende Daten gegeben sein:

Die Höhe der zum zukünftigen Zeitpunkt T fließenden Zahlung Z (in der Formel mit $Z T$ bezeichnet).
Die Anzahl der Perioden, über welche die Zahlung abgezinst werden soll T.
Der Zinssatz r, mit dem die Zahlung abgezinst wird:
- Handelt es sich hierbei um einen Anlagezinssatz, so entspricht der Barwert dem Wert, den ein Anleger in der Gegenwart anlegen muss, um in Zukunft aus dieser Anlage eine Zahlung entsprechend $Z T$ zu bekommen.
- Ist r ein Verschuldungszinssatz, so entspricht der Barwert der Höhe des Kredits, den ein Kreditnehmer mit den $Z T$ -Einzahlungen tilgen kann.

Die einfachste Formel für die Berechnung des Barwerts lautet:

$PV(Z_T) = \frac{Z_T}{(1 + r_T)^T}$

Sie gilt für genau eine Zahlung, die T Perioden (Jahre) in der Zukunft liegt. Zudem wird von einem gleich bleibenden Zinssatz r ausgegangen.

Der Bruch $\frac{1}{(1 + r_T)^T}$ wird dabei als Diskontierungssatz, Diskontierungsfaktor oder Abzinsungsfaktor bezeichnet.

Beispiel

Erna möchte sich in vier Jahren ein neues Auto kaufen, das dann 30.000 € kosten wird. Sie möchte bereits heute wissen, wie viel Geld sie anlegen muss, wenn sie mit einer Verzinsung von 6 % p.a. rechnen kann.

Lösung: $PV(30.000) = \frac{30.000}{(1+0{,}06)^4} = 23.762{,}81$

oder anders ausgedrückt: 30.000 € in vier Jahren sind bei einem Zinssatz von 6 % zum jetzigen Zeitpunkt € 23.762,8 wert.

Barwert einer einzigen Zahlung bei unterjähriger Verzinsung

Bei der Bildung eines Barwertes kann es mitunter vorkommen, dass pro Periode mehrere Zahlungen erfolgen, welche abgezinst werden müssen. Dazu kommt es z. B., wenn Zinsforderungen des Investors halbjährlich bedient werden.

Bei m Zinszahlungen im Jahr über einen Zeitraum von T Jahren muss der Barwert des am Ende zufließenden Betrages $Z T$ lauten:

$PV(Z_T) = \frac{Z_T}{\left( 1 + \frac{r_T}{m}\right) ^{Tm}}$

Barwert einer Annuität

Erläuterung

Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleich bleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer ewigen Rente (auch perpetuity). Für beide Fälle lassen sich die jeweiligen Barwerte berechnen, wobei bei längeren Zeiträumen die Barwerte für endliche und unendliche Zahlungsströme fast identisch sein können.

Barwert des Betrages Z, der m-mal im Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt (r = Zinssatz): $PV(Z) = \frac{Zm}{r}$

Die ewige Rente ist somit der regelmäßige Zins auf eine Kapitalanlage (Barwert). Diese Formel verteilt die jährliche nachschüssige Rente gleichmäßig innerhalb der Folgeperiode. Bei einer Zeitbegrenzung kommt ein Korrekturfaktor hinzu:

Barwert des Betrages Z, der N Jahre m-mal pro Jahr zufließt: $PV(Z) = \frac{Zm}{r} - Z \Bigg[ \frac{1}{\frac{r}{m}\big(1 + \frac{r}{m}\big)^{Nm}}\Bigg]$

Beispiel

Berechnung des finanzmathematischen Barwertes zum Zeitpunkt des Rentenantritts für die monatliche Rente der Mutter – 500 Euro ab dem 60. Lebensjahr bei 5 % Nominal Zins (Lebenserwartung der Mutter: 80 Jahre, vgl. auch versicherungsmathematischer Barwert):

$PV(500) = 500\Bigg[\frac{12}{0{,}05} - \frac{1}{\frac{0{,}05}{12}\big(1 + \frac{0{,}05}{12}\big)^{20\cdot{}12}}\Bigg] = 75.762{,}66$

Versicherungsmathematischer Barwert

Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie (Sterbewahrscheinlichkeiten) und ähnliches ein.

Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.